Corollaire du théorème de Gauss

Corollaire

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) , \(b \in \mathbb{Z}\) et \(c \in \mathbb{Z}\) non nuls.

Si \(a\) divise \(c\) , si \(b\) divise \(c\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(ab\) divise \(c\) .

Démonstration

Comme \(a\) divise \(c\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(c=ka\) .

De même, comme \(b\) divise \(c\) , il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(c=k'b\) . On en déduit que \(ka=k'b\) . Ainsi, \(a\) divise \(k'b\) .

Or \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, \(a\) divise \(k'\) .

Par conséquent, il existe \(k'' \in \mathbb{Z}\) tel que \(k'=k''a\) , et on a donc \(c=k'b=k''ab\) , par conséquent \(ab\) divise \(c\) .